Question

已知f为双曲线c:x^2/a^2一y^2/b^2的右焦点,a为c的右顶点,b为c上的点且bf垂直

高学双曲线难题
已知双曲线C：x^2/a^2－y^2/b^2=1(a>0,b>0),点B、F分别是双曲线C的右顶点和右焦点,O为坐标原点,点A在x轴正半轴上,且满足OA、OB、OF成等比数列,过点F作双曲线C在第一、第三象限的渐近线的垂线L,垂足为P,
（1）求证：PA.OP=PA.FP
（2）设a=1,b=2,直线L与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E,求|DF|/|DE|的值.
（3）若L与双曲C的左右两支相交于D、E,求离心率e的范围
题目中应为“且满足|OA|、|OB|、|OF|（三者均为向量）成比数列，”
另外“（1）求证：PA.OP=PA.FP(四者均为向量)
“（2）中求|DF|/|DE|的值，其中二者也是向量。

Answer 1

1、由题可知F(c,0)、B(a,0)
OF=c,OB=a,(其中c^2=a^+b^)
则OA=a^2/c
过一、三象限渐近线斜率为b/a,则直线L斜-a/b,直线过点F(c,0),
则直线L解析式Y=(-a/b)*X+ac/b
则点P坐标满足(b/a)X=(-a/b)+ac/b,解得X=a^2/c,
则P坐标为(a^2/c,ab/c)
弄出所需点距离值自己证下
2、当a=1,b=2时,
双曲线C解析式为：X^2-Y^2/4=1
直线L解析式为Y=-X/2+(根号5)/2
此时易求出D(-14倍根号5/15,19倍根号5/30)、E(3倍根号5/5,根号5/5)
则|DF|=根号745/6,|DE|=根号457/6
|DF|/|DE|=根号下(745/457)