Question

x+x/根号（x²-1）=2根号2 求x,要具体过程. 能不能用设元做？

Answer 1

x²-1>0,x>1 或 x0
所以x>0
所以 x>1
x+x/√(x²-1)=2√2
x/√(x²-1)=2√2-x
x=√(x²-1)*(2√2-x)
x²=(x²-1)(8-4√2x+x²)
x²=8x²-4√2x^3+x^4-8+4√2x-x²
x^4-4√2x^3+6x^2+4√2x-8=0
x^4-√2x^3-3√2x^3+6x^2+4√2x-8=0
x^3(x-√2)-3√2x^2(x-√2)+4√2(x-√2)=0
(x-√2)(x^3-3√2x^2+4√2)=0
(x-√2)(x^3-√2x^2-2√2x^2+4√2)=0
(x-√2)[x^2(x-√2)-2√2(x+√2)(x-√2)]=0
(x-√2)^2(x^2-2√2x-4)=0
x=√2 或 x=√2+√3 或x=√2-√3
因x>1
所以 x=√2 或 x=√2+√3
当x=√2+√3时,x^2-1=(√2+√3)^2-1=4+2√6
代入原式:
√2+√3+(2+√3)/√(4+2√6)=2√2
√3+(√2+√3)/√(4+2√6)=√2
显然左式大于右式,所以x=√2+√3也应舍弃
所以 x=√2
由上讨论知,x>1
设 x= 1/sina ,a 在第一,二象限
则 x²-1=(1/sina)²-1=(1-sin²a)/sin²a=cos²a/sin²a
1.
当a在第一象限,sina>0,cosa>0
1/sina+(1/sina)/(cosa/sina)=2√2,1/sina+1/cosa=2√2,sina+cosa=2√2sinacosa
√2/2sina+√2/2cosa=2sinacosa,sinacosπ/4+sinπ/4cosa=sin2a,
sin(a+π/4)=sin2a
0