Question

求解差分方程

Answer 1

常系数线性差分方程的解

方程 （ 8）

其中为常数，称方程（8）为常系数线性方程。

又称方程 （9）

为方程（8）对应的齐次方程。

如果（9）有形如的解，带入方程中可得：

（10）

称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。

显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。

基本结果如下：

（1） 若（10）有k个不同的实根，则（9）有通解：

，

（2） 若（10）有m重根，则通解中有构成项：

（3）若（10）有一对单复根 ，令：，，则（9）的通解中有构成项：

（4） 若有m 重复根：，，则（9）的通项中有成项：

综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程
（9）的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为：

如果能得到方程（8）的一个特解：，则（8）必有通解：

+ （11）

（1） 的特解可通过待定系数法来确定。

例如：如果为n 的多项式，则当b不是特征根时，可设成形如形式的特解，其中为m次多项式；如果b是r重根时，可设特解：，将其代入（8）中确定出系数即可。