Question

已知：函数f（x）=sinx-cos2x+a．（1）求函数f（x）的最值；（2）...

已知：函数f（x）=sinx-cos2x+a． （1）求函数f（x）的最值； （2）当a为何值时，方程f（x）=0在区间[0，2π）有两解？ （3）求函数f（x）在区间[0，2π]上的单调递增区间．

Answer 1

解（1）由f（x）=sinx-cos2x+a=sinx-（1-sin2x）+a=(sinx+12)2-54+a，
∵sinx∈[-1，1]，
所以当sinx=1时f（x）max=1+a，
当sinx=-12时f(x)min=a-54
∴函数f（x）的最大值为a+1，最小值为a-54．
（2）由f（x）=0，
∴sinx-cos2x+a=0，
∴sinx-（1-sin2x）+a=0，
令t=sinx，∵x∈[0，2π），
∴t∈[-1，1]，
要使方程f（x）=0在区间[0，2π）有两解，
有t2+t+a-1=0在区间（-1，1）上有一解令g（t）=t2+t+a-1，
∴g(1)＞0g(-1)＜0或△=0，
∴a∈（-1，1）或a=54
∴a的取值范围是(-1，1)∪{54}．
（3）由f（x）=sinx-cos2x+a
=sinx-（1-sin2x）+a
=(sinx+12)2-54+a，
令t=sinx，
∵x∈[0，2π]，
∴t∈[-1，1]，
∴y=(t+12)2-54+a在[-1，-12]上单调递减，在[-12，1]上单调递增
当t∈[-1，-12]时，
x∈[7π6，11π6]，
而t=sinx在[7π6，3π2]上单调递减，在[3π2，11π6]上单调递增，
所以当x∈[7π6，3π2]时f（x）单调递增，
当t∈[-12，1]时，
x∈[0，7π6]∪[11π6，2π] 而t=sinx在x∈[0，π2]，x∈[11π6，2π]时单调递增，
∴f（x）在[0，π2]，[11π6，2π]上单调递增．
综上函数f（x）在区间[0，2π]上的单调递增区间为[0，π2]，[7π6，3π2]，[11π6，2π]．