Question

已知x，y∈R，2x+3y=13，则x 2 +y 2 +1的最小值为______

已知x，y∈R，2x+3y=13，则x 2 +y 2 +1的最小值为______．

Answer 1

解法1：根据解析几何的性质可知，2x+3y=13表示直线的方程，
则x
2
+y
2
表示直线上的点到原点的距离的平方，
由于原点到直线2x+3y=13距离为直线的点到原点的最短距离，
故x
2
+y
2
的最小值为（
|-13|
4+9
）
2
=13，
则x
2
+y
2
+1的最小值为14；
解法2：因为2x+3y=13，
所以利用柯西不等式得
（x
2
+y
2
）（2
2
+3
2
）≥（2x+3y）
2
，
即13（x
2
+y
2
）≥13
2
，
即x
2
+y
2
≥13，
当且仅当
3x=2y
2x+3y=13
即
x=2
y=3
时取等号，
即x
2
+y
2
的最小值为13．
则x
2
+y
2
+1的最小值为14．
故答案为：14