Question

已知函数,.若,求函数的单调区间;若恒成立,求实数的取值范围.

已知函数,. 若,求函数的单调区间; 若恒成立,求实数的取值范围.

Answer 1

若,求函数的导数,即可求函数的单调区间;
将不等式恒成立进行转化,利用参数分离法求函数的最值,求实数的取值范围.
解:若,则的定义域为,
,
由,解得,
,解得,
即函数的单调增区间为,减区间为;
若恒成立,
即,
则,
设,
则,
当,则,此时函数单调递减,
当,则,此时函数单调递增,
即当时,取得极大值,同时也是最大值,
则,
即的取值范围是.
本题主要考查函数单调性和导数之间的关系,以及不等式恒成立问题,利用参数分离法是解决本题的关键.