Question

如图第五题

Answer 1

连DB，交AC于O，设DE与AC交于O‘，DF与AC交于O’‘
在△ABC中，E，F分别为AB，BC的中点，所以EF//AC，且EF=1/2AC
因AC与DB分别为平行四边形ABCD的两条对角线，所以AC，DB相互平分，即DO=BO，
AO=CO
在△ADB中，O是DB的中点，E是AB的中点，所以O’是此三角形的重心，所以AO‘：OO’=2：1，DO‘：EO‘=2：1
同理，在△CDB中，O是DB的中点，F是CB的中点，所以O’‘是此三角形的重心，所以CO’‘：OO’‘=2：1
因AO=CO，所以AO‘+OO’=CO’‘+OO’‘,
即3OO'=3OO'',
所以OO‘=OO’‘
所以OO‘+OO’‘=AO’=CO‘’，即AO'=O'O''=CO''
所以，在△ADC中，面积S△AO‘D=S△O‘O’’D=S△CDO‘’
所以，S△AO‘D+S△CDO‘’=2/3S△ADC=2/3*1/2*S平行四边形ABCD=1/3S平行四边形ABCD
在△AEF中，EF//AC，所以△AO‘O‘’相似于△AEF，所以O’O‘’：EF=DO‘：AE=2：3
所以，面积S△AO‘O‘’：S△AEF=2：3，所以S四边形O’EFO‘’=1/2S△AO‘O‘’
因S△AO‘O‘’=1/3△ADC=1/3*1/2*S平行四边形ABCD=1/6S平行四边形ABCD
所以S四边形O’EFO‘’=1/2*1/6S平行四边形ABCD=1/12S平行四边形ABCD
所以，所有阴影面积S1=1/3S平行四边形ABCD+1/12S平行四边形ABCD=5/12S平行四边形ABCD
所以，非阴影面积S2=S平行四边形ABCD-所有阴影面积S1=7/12平行四边形ABCD
所以：S1：S2=5：7