Question

已知椭圆两焦点和短轴一个端点围成直角三角形

已知椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线 是抛物线 的一条切线． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点 的动直线 L 交椭圆 C 于 A 、 B 两点.问：是否存在一个定点 T ，使得以 AB 为直径的圆恒过点 T ? 若存在，求点 T 坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

已知椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线 是抛物线 的一条切线． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点 的动直线 L 交椭圆 C 于 A 、 B 两点.问：是否存在一个定点 T ，使得以 AB 为直径的圆恒过点 T ? 若存在，求点 T 坐标；若不存在，说明理由． （Ⅰ） （Ⅱ）T（0，1） （Ⅰ）由 因直线 相切， ，∴ ， ……2分 ∵圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角 形，∴ …… 4分 故所求椭圆方程为 ……5分 （Ⅱ）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程： 当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程： 由 即两圆公共点（0，1） 因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1） ……8分 （ⅰ）当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T（0，1） （ⅱ）若直线L斜率存在时，可设直线L： 由 记点 、 ……10分 ∴TA⊥TB, 综合（ⅰ）（ⅱ），以AB为直径的圆恒过点T（0，1）. ……12分