Question

有三个不同的自然数,它们的最大公因数是1,但其中任两数都不互质,这三个自然数的和最小是多少?

Answer 1

最大公因数是1,说明他们三者之间不存在共有的素因子.而两两之间不互质,又说明两两之间存在共有的素因子.
假设要求的3个自然数分别是A,B,C.其中：
x = A,B的最大公约数
y = B,C的最大公约数
z = C,A的最大公约数
任选两个,比如 x,y,则必然有 x,y 互质.否则的话设 d = x,y 的最大公约数（d>1）,则 d 同时是 A,B 和 B,C 的约数,这和 A,B,C 互质相矛盾.
因此容易得出结论：x,y,z 两两互质.
构造结果：
为了使结果最小,可以令 x,y,z 为 3 个不同的素数.最小的3个素数分别是2,3,5.那么可以设：
(1).A,B的最大公约数x = 2
(2).B,C的最大公约数y = 3
(3).C,A的最大公约数z = 5
由 (1),(2) 知,B至少包含因子2,3,所以B最小是 2*3 = 6
由 (2),(3) 知,C至少包含因子3,5,所以C最小是 3*5 = 15
由 (3),(1) 知,A至少包含因子5,2,所以A最小是 5*2 = 10
综上所述,A+B+C的最小值应该是 6+15+10 = 31