Question

已知函数f（x）=13x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R）．（1）若x...

已知函数f（x）=13x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R）． （1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值． （2）若y=f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值．

Answer 1

解：（1）求导函数可得f′（x）=x2-2ax+a2-1
∵x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=0，∴a2-2a=0，∴a=0或2
（2）∵（1，f（1））在x+y-3=0 上，∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）的图象上，∴2=
1
3
-a+a2-1+b
又∵f′（1）=-1，∴1-2a+a2-1=-1，∴a2-2a+1=0
∴a=1，b=
8
3
∴f(x)=
1
3
x3-x2+
8
3
∴f′（x）=x2-2x
∴由f′（x）=0，可知x=0和x=2 是f（x） 的极值点
∵f(0)=
8
3
，f(2)=
4
3
，f（-2）=-4，f（4）=8
∴f（x）在区间[-2，4]上的最大值为8