Question

已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a4=20，a3=8．（Ⅰ）求数列{an...

已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a4=20，a3=8． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn=an•log 12an，数列{bn}的前n项和为Sn，Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．

Answer 1

解：（I）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
依题意，有a1q+a1q3=20a1q2=8.，解之得a1=2q=2或a1=32q=12
又数列{an}单调递增，∴a1=2q=2，∴an=2n．…（6分）
（Ⅱ）依题意，bn=an•log 12an=-n•2n，
∴-Sn=1•2+2•22+…+（n-1）•2n-1+n•2n，①，-2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1②
由①-②得：Sn=2+22+23+24+…+2n-n•2n+1…（8分）
=2n+1-n•2n+1-2…（10分）
∵Sn+n•2n+1＞50
∴（1-n）•2n+1-2+n•2n+1＞50
∴2n+1＞52
∴最小正整数n的值为5．