Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,n∈N*，证明{an-1}为等比数列

Answer 1

Sn=n-5an-85
则
an=Sn-S(n-1)=n-5an-85-(n-1)+5a(n-1)+85
=1-5an+5a(n-1)

即6an=5a(n-1)+1

6an-6=5a(n-1)+1-6

6(an-1)=5(a(n-1)-1)

所以bn=an-1=5/6*(a(n-1)-1)=5/6*b(n-1)
则bn为公比是5/6的等比数列
即an-1是等比数列

Answer 2

Sn=n-5an-85 (1)
S（n+1）=n+1-5a（n+1）-85 (2)
(2)-(1)整理得6a(n+1)=1+5an
即a(n+1)-1=(5/6)(an-1)
又由S1=a1=1-5a1-85得a1=-14
所以{an-1}为首项-15,公比5/6的等比数列
所以an=(-15)*（5/6）^(n-1)+1

Answer 3

当n=1时，2倍的S1=3倍的（a1-1),即2倍的a1=3倍的(a1-1),a1=3,当n=2时， a2=9，a2/a1=3
当n大于等于2时，an=Sn-S(n-1),把2Sn=3(an-1)、2S（n-1)=3(a(n-1)-1)带入
得an=3a(n-1)，an/a(n-1)=3(为常数）
所以数列an是等比数列