Question

定积分的题目，多谢🙏

Answer 1

方法如下，
请作参考：

Answer 2

这个主要是考察定积分的几何意义，奇函数在[-a,a]这种关于原点对称的区间上定积分为0。

Answer 3

计算一下即可求出结果。

Answer 4

分享解法如下，应用贝塔函数、伽玛函数求解。原式=2∫(0,1)(x²-1)^ndx=2[(-1)^n]∫(0,1)(1-x²)^ndx。
令x=√t。按照贝塔函数的定义，∴原式=[(-1)^n]∫(0,1)[t^(-1/2)](1-t)^ndt=[(-1)^n]B(1/2,n+1)。
而，B(1/2,n+1)=[Γ(1/2)Γ(n+1)]/Γ(1/2+n+1)=(n!)/[n+1/2)(n-1/2)…(1/2)]=2(2n)!!/(2n+1)!!
∴原式=[(-1)^n]2(2n)!!/(2n+1)!!。

Answer 5

I0=∫(-1->1) dx =2
In
=∫(-1->1) (x^2-1)^n dx
=[x(x^2-1)^n]|(-1->1) -2n∫(0->1) x^2.(x^2-1)^(n-1) dx

=0 -2n∫(0->1) x^2.(x^2-1)^(n-1) dx
=-2nIn + 2nI(n-1)
(2n+1)In =2nI(n-1)
In
=[2n/(2n+1)] I(n-1)
=[2n/(2n+1)]. [(2n-2)/(2n-1)] .I(n-2)
=[2n/(2n+1)]. [(2n-2)/(2n-1)] .(2/3).I0
=[2n/(2n+1)]. [(2n-2)/(2n-1)] .(2/3).(2)
=[2^(n+1). n!/[(2n+1).(2n-1)....(3) ]
=[2^(n+1). n! . [(2)(4)...(2n) ]/ (2n+1)!
=2^(2n+1) . (n!)^2 / (2n+1)!