Question

设函数f（X）＝X㏑X。求函数的单调区间

设函数f（X）＝X㏑X。求函数的单调区间。证明函数有且只有一个零点。

Answer 1

解：（一）f(x)=x㏑x.(x＞0).求导得f'(x)=㏑x+1=㏑(ex).当0＜ex≤1时，即0＜x≤1/e时，f'(x)≤0.当ex＞1时，即x＞1/e时，f'(x)＞0.∴在(0,1/e]上，f(x)递减，在(1/e,+∞)上，f(x)递增。（二）由前知，f(x)min=f(1/e)=-1/e.又linf(x)=lin(x㏑x)=lim[(㏑x)/(1/x)]=lim(-x)=0.(x--->0+).∴在(0,1/e]上，-1/e≤f(x)＜0.在(1/e，+∞）上，f(x)递增，且f(e)=e＞0.∴数形结合可知，该函数仅有一个零点。