Question

极限有界收敛三者之间的关系是什么?

Answer 1

如果一个数列的项数n趋向于无穷大时，数列的极限存在，那么就称这个数列收敛。

而对于函数，如果一个函数的自变量趋向于X0（或∞）时，它的因变量趋向某个特定值或者趋向∞那么就称函数在X0（或无穷大）处有极限。

若一个数列收敛，那么这个数列就是有界数列，若一个函数在某点处有极限，那么这个函数在这个点处的去心领域内有界，也就是说局部有界。

1，有界不一定有极限，例如:振荡函数（正弦函数）。

2，函数极限存在一定是有界的，既有下界，也有上界。（利用“单调有界必有极限”的原理去证明数列（在N⇒∞时）极限存在时，只需证明有下界（单调递减）或者有上界（单调递增））

3，级数的部分和极限存在，则该级数收敛。

4，如果级数收敛，则一般项的极限趋于0。反之，则不成立。

补充：无界跟无穷极限的关系。

如果函数极限为无穷，则该函数是无界的；反之，函数无界，不能证明函数的极限为无穷。函数无界也有可能是正振荡函数（越振幅值越大的）。

充要条件：当N⇒∞时，Xn⇒X0，f（Xn）⇒∞  ，那么函数f（x）无界。反之亦成立。