Question

如图，直线y=-2x+4分别与x轴、y轴相较于点A和点B，以B为顶点在第一象限作等腰Rt△ABC..

（1）求点C的坐标
（2）在y轴上是否存在一点M，使得MA+MC最小？如果存在请求出M的坐标
（3）若P点为Y轴正半轴上一动点，分别以AP、OP为腰在第一象限、第二象限作等腰Rt△APC和等腰Rt△OPD，连接CD交y轴于N点，当点P在Y轴上移动时，求PN的长度

Answer 1

(1)解法一：过点C作CE垂直于x轴，过点B作平行于x轴的辅助线交CE于F，可证明△BCF=△BAO,所以BF=BO=4,FC=OA=2,所以C点坐标为（4，6）
解法二：设C点坐标（x,y），因为CBA为直角，直线BC的斜率=tanOBA=1/2，又直接过点B（0，4），可得直线BC的表达式：y=1/2x+4，因为△ABC是等腰，线段BC长度x^2+(y-4)^2=AB=2^2+4^2=20,带入直线表达式，即解得，x=4，y=6
(2)设存在M点坐标为（0，y），则MA+MC=y^2+2^2+(y-4)^2=2(y-2)^2+12,当y=2时，有最小值，所以M点存在，且坐标是（0，2）
(3)因为APC为等腰直角三角形，所以P点即为B点，坐标为（0，4）；因为OPD为等腰直角三角形，所以D点坐标为（-4，4），已知C（4，6），所以直线BC的方程为：（x+4）/（4+4）=（y-4）/（6-4），整理得y=（1/4）x+5，所以N点的坐标为（0，5），所以PN的长度为1。