这道高数极限题怎么做？
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简单计算一下，答案如图所示
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分享解法如下。x→0时，a^x=e^(xlna)=1+xlna+[(lna)²/(2!)]x²+O(x²)、b^x=1+xlnb+[(lnb)²/(2!)]x²+O(x²)。
∴(a^x-xlna)/(b^x-xlnb)=[1+(1/2)(lna)²x²+O(x²)]/[1+(1/2)(lnb)²x²+O(x²)]~1+(1/2)[(lna)²-(lnb)²]x²+O(x²)。
∴原式=lim(x→0)[1+(1/2)[(lna)²-(lnb)²]x²+O(x²)]^(1/x²)=e^{[(lna)²-(lnb)²]/2}=[√(ab)]^[ln(a/b)]。
∴(a^x-xlna)/(b^x-xlnb)=[1+(1/2)(lna)²x²+O(x²)]/[1+(1/2)(lnb)²x²+O(x²)]~1+(1/2)[(lna)²-(lnb)²]x²+O(x²)。
∴原式=lim(x→0)[1+(1/2)[(lna)²-(lnb)²]x²+O(x²)]^(1/x²)=e^{[(lna)²-(lnb)²]/2}=[√(ab)]^[ln(a/b)]。
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x->0
a^x = 1+(lna)x +(1/2)(lna)^2. x^2 +o(x^2)
b^x = 1+(lnb)x +(1/2)(lnb)^2. x^2 +o(x^2)
(a^x-b^x) +x(lnb-lna) = (1/2)[ (lna)^2 -(lnb)^2 ] x^2 +o(x^2)
x->0 , (b^x -xlnb)->1
(a^x -xlna)/(b^x -xlnb)
=1 + [(a^x-b^x) +x(lnb-lna)]/(b^x -xlnb)
=1 +(1/2)[ (lna)^2 -(lnb)^2 ] x^2 +o(x^2)
lim(x->0) [ (a^x -xlna)/(b^x -xlnb) ]^(1/x^2)
=lim(x->0) [ 1 +(1/2)[ (lna)^2 -(lnb)^2 ] x^2 ]^(1/x^2)
=e^{ (1/2)[ (lna)^2 -(lnb)^2 ] }
a^x = 1+(lna)x +(1/2)(lna)^2. x^2 +o(x^2)
b^x = 1+(lnb)x +(1/2)(lnb)^2. x^2 +o(x^2)
(a^x-b^x) +x(lnb-lna) = (1/2)[ (lna)^2 -(lnb)^2 ] x^2 +o(x^2)
x->0 , (b^x -xlnb)->1
(a^x -xlna)/(b^x -xlnb)
=1 + [(a^x-b^x) +x(lnb-lna)]/(b^x -xlnb)
=1 +(1/2)[ (lna)^2 -(lnb)^2 ] x^2 +o(x^2)
lim(x->0) [ (a^x -xlna)/(b^x -xlnb) ]^(1/x^2)
=lim(x->0) [ 1 +(1/2)[ (lna)^2 -(lnb)^2 ] x^2 ]^(1/x^2)
=e^{ (1/2)[ (lna)^2 -(lnb)^2 ] }
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