Question

已知函数f（x）=log2 1+x/1-x

（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说出理由
（2）证明函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数

Answer 1

1） 1+x/1-x>0,则-1<x<1，定义域关于原点对称。
f(x)=log2 （1+x）/（1-x）
f(-x)=log2 （1-x）/（1+x）=log2 [（1+x）/（1-x）]^(-1)
=-log2 （1+x）/（1-x）
即f（x）=-f（-x） 为奇函数
2）令1>x1>x2>-1
f(x1)-f(x2)= log2 （1+x1）/（1-x1）-log2 （1+x2）/（1-x2）
=log2 [（1+x1）/（1-x1）]/[（1+x2）/（1-x2）]
=log2 [（1+x1）（1-x2）]/[（1+x2）/（1-x1）]
[（1+x1）（1-x2）]/[（1+x2）/（1-x1）]>1
log2[（1+x1）（1-x2）]/[（1+x2）/（1-x1）]>0
f(x1)>f(x2)
f（x）在区间（-1，1）上为增函数