Question

圆锥曲线证明

F作直线l垂直C的斜率为正值的渐近线，垂足P，设l与C的左.右分别交于A.B两点（1）求证：P点在C的右准线上；（2）求C的离心率e的取值范围

Answer 1

1、
证明：
设∠POF=x，则
tan∠POF
=b/a
=FP/PO,
则容易知道，
FP=b,PO=a,
过P向x轴引垂线，垂足为Q，
不难证明
Rt△OQP∽Rt△OPF,
∴OQ:OP=OP:OF,
∴OQ=a^2/c,
即P在x=a^2/c上,
得证！
2、首先，双曲线的离心率e>1,
∵双曲线与左右两支都有交点，
∴根据图形即两条渐近线与FP的关系，知
通过一、三象限的渐近线的倾斜角必定大于45°，
即b>a，
∴a^2<b^2=c^2-a^2,
∴2a^2<c^2,
∴e^2>2,
∴e>√2，
即e的取值范围是
(√2，+∞)。
谢谢！