Question

高一数学【二分法相关问题】

m＞n＞0，方程2x^2-(3m+n)x+mn=0的两根为α、β，且α＜β，则α、β、n的大小顺序是？

【给思路。】

Answer 1

解：

根据韦达定理，得

α+β=(3m+n)/2

αβ=mn/2

∴3m+n=2(α+β)

3m*n=6αβ

∵m和n都是大于0的，

∴α和β都是大于0的，

{ 顺便判断一下方程有根：

方程有两个不相等的实数根，则

△=(3m+n)²-8mn＞0

∴4(α+β)²-8*2αβ＞0

(α+β)²-4αβ＞0

∴(α-β)²＞0

恒成立的，

这个大括号的一段可省略}

3m和n是 t²-2(α+β)t+6αβ=0的两根

t={2(α+β)±√[4(α+β)²-24αβ]}/2

=(α+β)±√[(α+β)²-6αβ]

∵m＞n＞0，得3m＞n＞0

∴n=(α+β)-√[(α+β)²-6αβ]

n-α=β+√[(α+β)²-6αβ]＞0

n-β=α+√[(α+β)²-6αβ]＞0

又∵α＜β

∴n＞β＞α

此即所求

谢谢