Question

一道很难的奥数题。

记S=(1×2×3×…×n）+（4k+3），这里n≥3。当k在1至100之间取正整数值时，有多少个不同的k，使得S是一个正整数的平方。（请写出解答过程）。

Answer 1

任何正整数数不是奇数就是偶数，也就是正整数可以表示为
{Z | Z = 2T 或 Z = 2T - 1 (T属于正整数)}
因此Z的平方
Z^2 = (2T)^2 = 4*T^2
或
Z^2 = (2T - 1)^2 = 4*T^2 - 4T + 1 = 4(T^2 - 1) + 1
即有：任何正整数的平方数被4除的余数仅有0、1这两种。

对S = N! + (4K + 3)来说
当N≥4时，N!必能被4整除（因含因数4），S必为被4除余3的数，根据上面推导，S必不可能为某一正整数的平方。

因此仅存N = 3的情况。当N = 3时，
S = 1×2×3 + 4K + 3 = 9 + 4K
1 ≤ K ≤ 100
13 ≤ S ≤ 409
在此范围内的完全平方数有4^2 = 16、5^2 = 25……、20^2 = 400
这 20 - 4 + 1 = 17 个。按这些平方数求出K 即可。