Question

已知点A(-1,1)B(3,3)是圆C的一条直径的两个端点，又点M在圆C上运动，点N(4,2),求线段MN的中点P的轨迹方程

Answer 1

a、b和原点o构成一个斜边长不变的直角三角形，om是这个三角形斜边的中线，等于斜边长一半，所以om是个定值，所以轨迹c是一个圆心在原点、半径为4/2=2的圆，设过点p(2,3)的直线l方程为：y-3=k(x-2),画草图可以看出有两条直线符合要求，一条是平行于y轴的过（0，2）点的直线，设过另一条切线的切点及原点的直线方程为y=(-1/k)
x,这条直线与所求另一直线交点可求得用k表示的坐标。这个坐标满足x^2+y^2=4,k可求，具体计算就不写了

Answer 2

圆心C(1,2)
AB=2√5
所以r²=5
(x-1)²+(y-2)²=5
设M(a,b)
P(x,y)
则x=(a+4)/2,y=(2+b)/2
a=2x-4
b=2y-2

M在圆C上
(a-1)²+(b-2)²=5
所以(2x-4-1)²+(2y-2-2)²=5
(2x-5)²+(2y-4)²=5

Answer 3

即a^(2x²-3x+1)<a^(x²+2x-5)

0<a<1
a^x是减函数
则2x²-3x+1>x²+2x-5
x²-5x+6>0
(x-2)(x-3)>0
x<2,x>3

a>1
a^x是增函数
则2x²-3x+1<x²+2x-5
(x-2)(x-3)<0
2<x<3

综上
0<a<1，x<2,x>3
a>1，2<x<3