Question

已知AB是圆O中的一条弦,∠AOB=120°，AB=6cm 求三角形AOB的面积

1.已知AB是圆O中的一条弦,∠AOB=120°，AB=6cm 求三角形AOB的面积

2.在RT△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心、r为半径的圆与AB 有何种位置关系？为什么？(1)r=2cm (2)r=2.4cm (3)r=3cm

3.如图，PA、PB是圆O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是圆O的切线，切点为Q，EF分别交PA、PB于E、F点，已知PA=a，∠P=α° (1)求△PEF的周长；(2)求∠EOF

Answer 1

1、连接OA、OB，过O作OC⊥AB
因为半径OA=OB，所以∠AOC=60，∠OAC=30，AC=AB/2=3，OA=2*OC
OA^2=OC^2+AC^2,得OC=√3
所以三角形面积为AB*OC/2=3√3

2、AB^2=AC^2+BC^2=9+16=25
所以AB=5
过C作CD⊥AB交AB于D
根据三角形面积公式
AB*CD/2=AC*AB/2
求得 CD=12/5=2.4

所以当r=2cm<2.4，圆与AB相离
所以当r=2.4cm，圆与AB相切
所以当r=3cm>2.4，圆与AB相交

3、连接OP、OE、OF，
在直角三角形PAO和PBO中，OA=OB，OP=OP，所以PA=PB=a
同理可得
在直角三角形AOE和QOE中，AE=EQ
在直角三角形QOF和BOF中，QF=BF

周长=PE+QE+PF+QF
=PE+AE+PF+BF=2PA=2a

∠EOF=∠EOQ+∠FOQ
=∠AOQ/2+∠BOQ/2
=∠AOB/2
=(180°-∠P)/2
=90°-a/2

Answer 2

我来告诉你吧：
1、连接OA、OB，过O作OC⊥AB
因为半径OA=OB，所以∠AOC=60，∠OAC=30，AC=AB/2=3，OA=2*OC
OA^2=OC^2+AC^2,得OC=√3
所以三角形面积为AB*OC/2=3√3

2、AB^2=AC^2+BC^2=9+16=25
所以AB=5
过C作CD⊥AB交AB于D
根据三角形面积公式
AB*CD/2=AC*AB/2
求得 CD=12/5=2.4

所以当r=2cm<2.4，圆与AB相离
所以当r=2.4cm，圆与AB相切
所以当r=3cm>2.4，圆与AB相交

3、连接OP、OE、OF，
在直角三角形PAO和PBO中，OA=OB，OP=OP，所以PA=PB=a
同理可得
在直角三角形AOE和QOE中，AE=EQ
在直角三角形QOF和BOF中，QF=BF

周长=PE+QE+PF+QF
=PE+AE+PF+BF=2PA=2a

∠EOF=∠EOQ+∠FOQ
=∠AOQ/2+∠BOQ/2
=∠AOB/2
=(180°-∠P)/2
=90°-a/2

Answer 3

1.AB上的高=3/3^0.5=3^0.5，面积=1/2*6*3^0.5=3*3^0.5
2。勾三股四弦五，AB=5,AB上的高=4*3/5=2.4
(1)相离，（2）相切，（3）相交
3。（1）AE=EQ,FQ=FB,AP=PB
周长=2a
（2）∠AOE=∠EOQ,∠QOF=∠FOB
∠EOF=1/2∠AOB=1/2(180°-∠P)=90°-a/2

Answer 4

(1)三角形底边AB长一定，AB=2，当其高最大时面积最大，即O到AB的距离最长时三角形OAB面积最大，设圆C的圆心为E(3,4)，O到AB的垂线的垂足为D则
OD^2=OE^2-DE^2.................(1)
式中OE为定值，显然当DE=0时，OD取得最大值，
此时OD=OE=√(3^2+4^2)=5
三角形OAB面积最大值=1/2*AB*OE=1/2*2*5=5
(2)设三角形OAB外接圆圆心为F(x,y)，则FO=FA=FB
FO^2=x^2+y^2,FA^2=FE^2+EA^2=(x-3)^2+(y-4)^2+1
x^2+y^2=(x-3)^2+(y-4)^2+1
=> 3x+4y-13=0
(3)三角形OAB外接圆面积=πr^2=πFO^2,
当FO取最小值时，三角形OAB外接圆面积也取最小值。
由于圆心F点坐标轨迹为直线，FO最小值即为直线到O点距离
FO最小值=|3*0+4*0-13|/√(3^2+4^2)=13/5
三角形OAB外接圆面积最小值=π(13/5)^2=169π/25