Question

关于数学【点和圆的位置关系】（要过程哦）

金星和地球的运行轨道可以近似看做是以太阳为圆心的同心圆，且这两个同心圆在同一平面上，由于金星和地球的运转速度不同，所以两者的位置不断发生变化，当金星、地球举力最近时，此时叫“下合”；当金星、地球距离最远时，此时叫“上合”；在地球上观察金星的视线恰好与金星轨道相切时，此时分别叫“东大距”和“西大距”，已知地球与太阳相距约15（千万km），金星与太阳相距约10（千万km），分别求“下合”、“上合”、“东大距”和“西大距”时，金星与地球的距离（可用根号表示）。（注：在地球上观察金星，当金星分别在太阳的左、右两侧且视线恰好在与金星轨道相切的位置时，分别叫做西大距、东大距）

Answer 1

：如图，设太阳所在地为O点，地球所在地为A点，连接AO并延长分别交小圆O于B点，E点，依题意知，当金星地球处于“下合”“上合”时金星分别位于B点、E点.
又过A作小圆O的切线AC，AD，点C，点D为切点.当金星，地球处于“东大距”“西大距”时金星分别在D点、C点，由题意知A、B、O、E在同一直线上.
则下合时：AB=OA-OB=15-10=5（千万km），
上合时：AE=OA+OE=15+10=25（千万km），
连接OC：∵ AC切⊙O于点C，
∴ OC⊥AC.
∴ “西大距”时：AC=根号下OA^2-OC^2=5根号5（千万km）
由对称性知“东大距”时：AD=5根号5（千万km）.
综上得“下合”“东大距”“西大距”“上合”时金星，地球的距离分别为：5（千万km），5根号5（千万km），5根号5（千万km），25（千万km）.

Answer 2

其中“下合”、“上合”均好求：
下合时金星与地球的距离即是两个圆的半径之差：5（千万km），
上合时金星与地球的距离即是两个圆的半径之和：25（千万km），

“东大距”和“西大距”时即相切时，其时恰好，地球半径为直角三角形的斜边，而金星的半径为一个直角边，所求的恰好是另一个直角边，5√5（千万km），

Answer 3

圆心O表示太阳，A表示地球，B表示金星“上合”位置，C表示金星“下合”位置，D表示金星“东大距”位置，则：

OA=15

OB=10

OC=10

OD=10

“上合”金星与地球的距离：AB=OA+OB=25（千万km）

“下合”金星与地球的距离：AC=OA-OC=5（千万km）

“东大距”和“西大距”金星与地球的距离相同：

AD=√(OA^2-OD^2)=√(OA^2-OD^2)=5√5（千万km），