Question

在三角形ABC中,角ACB=90度,BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,点F在DE上,且AF=CE.

在三角形ABC中,角ACB=90度,BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,点F在DE上,且AF=CE.
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当角B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？回答并证明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

Answer 1

1).∵DF‖AC，ED平分角BEC，
∴∠DEC=∠ECA，∠BED=∠FEA=BAC，
∵∠BAC=∠ECA，
∵CE=EA=AF，
∵∠F=∠FEA=∠BAC=∠ECA，
∴⊿ECA≌⊿AFE，
∴EF=AC，
四边形ACEF是平行四边形。
2).答：∠ B=30度时，四边形ACEF是菱形。
∠BAC=60度，
则CE=AE，
∴三角形AEC等边，
∴ED=AC，
∴四边形ACEF是菱形。
3).四边形ACEF有不可能是正方形。
如果ACEF是正方形，则∠ACE=90度，E在BC上，
又∵E是BC垂直平分线与AB的交点，
∴E不可能与D重合。
∴四边形ACEF有不可能是正方形。

Answer 2

1.DF平行AC，ED平分角BEC，
角DEC=角ECA，角BED=角FEA=角BAC，
角BAC=角ECA，
CE=EA=AF，
角F=角FEA=角BAC=角ECA，
三角形ECA和AFE全等，
EF=AC，
四边形ACEF是平行四边形。
2.角B=30度时，四边形ACEF是菱形。
角BAC=60度，
由1得CE=AE，
三角形AEC等边，
ED=AC，
四边形ACEF是菱形。
3.四边形ACEF有不可能是正方形。
如果ACEF是正方形，角ACE=90度，E在BC上，又E是BC垂直平分线与AB的交点，
不可能与D重合。所以四边形ACEF有不可能是正方形。