Question

无限个无穷小的乘积举例子是什么?

Answer 1

定义函数列如下：

fn（x）的定义域为：［1，+∞）

f1（x）=1，x∈［1，2）

    f1（x）=1/x，x∈［2，+∞）

n>1

fn（x）=1，x∈［1，n）

fn（x）=x^（n-1），x∈［n，n+1）

设F（x）=∏{1≤n}fn（x），

fn（x）=1/x，n≤k-1

fk（x）=x^（k-1）

F（x）=∏{1≤n}fn（x）=1

所以F（x）≡1，因此当x→+∞时，F（x）不是无穷小。

但对于每个fn（x），当x→+∞时，fn（x）是无穷小。

所以无穷个无穷小的乘积不一定是无穷小。

无穷小量

是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数、序列等形式出现。无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。