Question

定义在R上的函数y=f(x),f(0)不=0.当x>0时.f(x)>1,且对任意实数x,y/.有f(x+y)=f(x)×f(y).1.证明:当x<0时.

定义在R上的函数y=f(x),f(0)不=0.当x>0时.f(x)>1,且对任意实数x,y/.有f(x+y)=f(x)×f(y).1.证明:当x<0时.有0<f(x)<1；2. 证明:f(x)是R上的增函数.；3.若f(x^2)*f(2x-x^2+2)>1，求x 的取值范围

Answer 1

令x=y=0,则f(0)=f(0)f(0)
∵f(0)≠0
∴f(0)=1
令y=-x,则f(x-x)=f(x)(-x)=1
∴f(-x)=1/f(x)
∵x>0时.f(x)>1
∴-x<0
∴0<f(x)<1
即当x<0时.有0<f(x)<1；
（2）令x1<x2，则
f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)
=f(x1)-f(x2-x1)f(x1)
=f(x1)(1-f(x2-x1))
∵x2-x1>0
∴f(x2-x1)>1
∴f(x1)<f(x2)
∴是增函数
（3）f(x^2)*f(2x-x^2+2)>1
f(x^2+2x-x^2+2)>f(0)
∵是增函数
∴x^2+2x-x^2+2>0
x>-1

Answer 2

f(x）=f(x+0)=f(x)*f(0)
所以f(0)=1
f(0)=f(x+(-x))=f(x)*f(-X)=1
f(-x)=1/f(x)
当x>0时f(x)>1，0<1/f(x)<1
即f(-x）<1
即当x<0时.有0<f(x)<1
（2）a>0时，f(x+a)-f(x)=f(x)*f(a)-f(x)=f(x)[f(a)-1]
因为当x>0时.f(x)>1,所以f(a)>1,所以f(x)[f(a)-1]>0
f(x+a)>f(x)
f(x)是R上的增函数
(3) f(x^2)*f(2x-x^2+2)=f(x^2+2x-x^2+2)=f(2x+2)>1
2x+2>0
x>-1