Question

x服从标准正态分布,x^2服从什么分布?

Answer 1

如果x服从标准正态分布，x^2服从自由度为1的卡方分布。

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从标准正态分布，则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布。

在抽样分布理论一节里讲到，从正态总体进行一次抽样就相当于独立同分布的 n 个正态随机变量ξ1，ξ2，…，ξn的一次取值，将 n 个随机变量针对总体均值与方差进行标准化得(i=1,…,n)，显然每个都是服从标准正态分布的。

性质：

（1）正态分布图像关于x=μ对称，其中μ为正态分布的期望值。

（2）正态分布的标准差越小，图像在x=μ处曲率半径越小，图像越高耸，也就是意味着取值在x=μ附近的几率越大。反之亦然。

（3）正态分布曲线与x轴之间的面积为1。

（4）图像的拐点在x=μ+σ和x=μ-σ处。

（5）正态分布为中心极限定理的大样本统计分布。