Question

求极限有幂运算时可以用等价无穷小代换吗？

如lim[x->0,(1+sinx)^(1/2x)],其中指数1/2x中的x能用sinx直接替换吗？ sinx也不能直接被替换成x吧？

Answer 1

那要看你对等价无穷小概念的理解了。

所谓等价无穷小其实为了求解极限方便而引入的概念，根据依然是泰勒展开，只不过是泰勒展开的低阶近似。

之所以老师们一再强调只有乘除关系可以替换，是因为乘除关系中，展开的阶次不影响结果，但是加减中不同，例如sinx-x不能用x替换sinx，原因不是说sinx在加减位置上，而是因为此时sinx用x替换的误差太大，精度不够，导致减去x后变为0，而其实还有一个等价无穷小替换是sinx-x~x^3/6，这里之所以这样替换其实是将sinx展开到了更高的精度，这样计算才不会出错。

根据我和清华大学数学系章老师的询问，结果是“等价无穷小替换，只要精度够高，可以在任何位置替换”。

不知道明白没有，所以负责任地告诉你，这道题可以直接将sinx替换为x，因为此时与sinx在加减位置上的是1，不是无穷小，所以不影响结果，替换为x的精度足够

Answer 2

一般是当x趋向一个值，这时分母和分子比值为1，二者就等价了，比如x趋向0时，x和sinx都为零，比值为1，此时sinx就等价于x。

Answer 3

不可以，只有相乘关系的才可以用等价无穷小代换。