Question

一到数学竞赛题

某国政府发型了两种硬币，其面值分别为11元和7元。这样一来，某些商品的价格就无法用它们直接支付。譬如说，当价格为15元时，就无法支付。
这两种硬币无论怎样组合都无法支付的最高价格是什么呢？
求快速解答，但一定要对。谢！！！
不带找钱的，是买主一次性付清，有具体答案。
不好意思，题没说清楚。

Answer 1

啊啊，大意了，修改下～～～

答案是59.（有两个答案是因为题目不严密，具体见下面。但是结果还是出乎意料的小啊，谁说没上限来着～？）

解析：
1、硬试呗，如果有连续7个数都能用11和7支付，那么之后的数都能用11和7支付（想想是不是这样～？）

试验结果：60（7×7+11），61（7×4+11×3），62（11×5+7），63（7×9），64（11×2+7×6），65（11×4+7×3），66（11×6）

所以答案是59

2、给出具体算法
（1）任何大于7的数都可以写成（7+11A+X）的形式，其中A为正整数，X为1～6的整数。（可以这么理解，任何一个数分解为一个7和好多个11之后，余数为X，所以X小于7）

（2）当余数为6时，也就是说还有6块钱没办法付，怎么办呢？好吧，把已经付给老板的一枚11块的硬币换成7块的，这样就还要付10块钱，还是不行；好吧，再把一枚11的换成7块的，这样就还要付14块钱～～OK啦，交易进行！

就是说，当余数为6的时候，商品价格肯定要大于22，交易才能进行。（因为你要把两个11的换成7块的嘛，11×2=22）

（3）当余数为5的时候，同理，需要把4个11的换成7块的，商品价格要大于44

（4）当余数为4的时候，分两种情况：如果允许找零，那么只要再给老板11，老板找7块就行，也就是说余数为4的时候任意价格的商品都可以交易；如果不允许找零，那么还是按上面的，需要把6个11的换成7块的，商品价格要大于66

（5）当余数为3时，只需要一个11的，所以价格大于11；

（6）当余数为2时，需要3个11，所以价格大于33

（7）当余数为1时，需要5个11，所以价格大于55

看看这6种情况，商品价格最大不过是66.也就是说，只要商品价格大于等于65，交易就一定能进行。

现在来找符合条件的最大的数。从65往下试验，很快就发现59不行，所以答案是59

======================华丽丽的分割============================

把这两个答案都给老师看看，肯定有加分啦～～

Answer 2

你好，我是东北大学数学系大二的沛羊羊。
答案是59。
解：
设11a+7b=M（a，b>=0）.
当a=0时，M的取值是7,14,21。。。，也就是从7开始的7n
当a=1时，M的取值是11,28。。。，也就是从11开始的7n+4
当a=2时，M的取值是22,29。。。，也就是从22开始的7n+1
当a=3时，M的取值是33,40。。。也就是从33开始的7n+5
当a=4时，M的取值是44。。。也就是从44开始的7n+2
当a=5时，M的取值是55。。。也就是从55开始的7n+6
当a=6时，M的取值是66,。。。也就是从66开始的7n+3
至此，我们已经看出，从66开始往后的数都是可以表示出来的，要求的数<66.
66-7=59. 并且59是小于66的7n+3型，满足条件，而且59到66之间的数都是7n+k（k不等于3）型的，都是可以表出的不满足，所以59即为所求。

Answer 3

∵(2n)×⑾-(3n)×⑺=n.(n=1,2,3,...).∴(1)当价格是n=15元时，顾客付给30枚11元的钱时，商家找给顾客45枚7元的钱。30×11-45×7=330-315=15。OK!(2)当价格是n元时，顾客付给2n枚11元的钱，商家找给3n枚7元的钱，2n×11-3n×7=22n-21n=n.OK.∴当价格是正整数时，都能支付。【注：（1）这一点依据是代数基本定理。（2）若纯粹是顾客付钱，价格为(11m+7n+1)元的商品，就无法支付。m,n--->+∞时，(11m+7n+1)--->+∞.∴无最高价格。】