Question

怎么运用定义法证明一个函数的极限？

我刚学高数 极限的定义不怎么看懂 请教高人 证明一个数列的极限是一个常数时候，利用定义法证明时，步骤是什么，那些是我知道的，那些是我需要证明的。
比如，证明当n→∞ 时，lim 1/n的极限是0，极限定义是；对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时的一切X，不等式[Xn-a]<ε都成立,侧成常数a是其极限。
我的问题是：1。用定义证明时，“对于任意给定的正数ε，总存在正整数N”，这个是已知的，还是需要证明的
2。证明主要是把什么证明出来，就表明极限是常数a了。

Answer 1

用定义证明极限都是格式的写法，依样画葫芦就是：

限 |x-1/2|<1/4，有 |x-1| > 1/2-|x-1/2| > 1/2-1/4 = 1/4。任意给定ε>0，要使

|x/(x-1)-(-1)| = 2|(x-1/2)/(x-1)|

= 2|x-1/2|/|x-1| < 2|x-1/2|/(1/4)

= 8|x-1/2| < ε，只须 |x-2| < min{ε/8,1/4}。

取 δ(ε) = min{ε/8,1/4} > 0，则当 0< |x-1/2| < δ(ε) 时，就有|x/(x-1)-(-1) <= 8|x-1/2| < …< ε ，根据极限的定义，得证。

扩展资料：

十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。

1637年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。

1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。

参考资料来源：百度百科-函数

Answer 2

你的任务是对于任意给定的正数ε，找到一个N，使得n>N时，[Xn-a]<ε；当然这个N的选取和ε有关，可以理解为关于ε的函数；比如你给出的例子，可以这样证明：
对任意给定的正数ε，存在N=[1/ε]+1，当n>N时，有
|Xn-a|=|1/n|<1/N<ε(因为n>N,所以1/n<1/N)

Answer 3

大学数学（数学分析、高等数学）第三章函数的极限（4）自变量趋于无穷大时函数极限定义例-3

Answer 4

你要证明存在正整数N,也就是证明的关键是找到N的关于ε的表达式
比如证明当n→∞ 时，lim 1/n的极限是0 证：对任意给定的正数ε，取N=[1/ε]+1,则当n>N时，|1/n-0|<ε
主要是找N=N(ε),你再理理思路好好琢摸下。

Answer 5

这个证明过程就是你要想办法找出这个任意的N以及ε的值
当你找到这个N和ε 并且满足[Xn-a]<ε就可以直接说明极限为a