求和：1-1/4+1/7-1/10+1/13-1/16+.
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设f(x)=x-x^4/4+x^7/7-x^10/10+.
f′(x)=1-x^3+x^6-x^9+.
=1/(1+x^3).
f(x)=∫[0,x]1/(1+x^3)dx
=(1/3)[ln(x+1)-(ln(x^2-x+1))/2+√3arctan((2x-1)/√3)].
令x=1,
1-1/4+1/7-1/10+...=(1/3)[ln2+(√3)π/6].
方法应该是这样,但最后结果我觉得有点问题,请仔细检查一下,我也要再想一想,现在要下线了.
找到毛病了,改正在下面.
f(x)=∫[0,x]1/(1+x^3)dx
=(1/3)[ln(x+1)-(ln(x^2-x+1))/2+√3arctan((2x-1)/√3)]+(1/3)*(√3)π/6.
令x=1,
1-1/4+1/7-1/10+...=(1/3)[ln2+(√3)π/3].
f′(x)=1-x^3+x^6-x^9+.
=1/(1+x^3).
f(x)=∫[0,x]1/(1+x^3)dx
=(1/3)[ln(x+1)-(ln(x^2-x+1))/2+√3arctan((2x-1)/√3)].
令x=1,
1-1/4+1/7-1/10+...=(1/3)[ln2+(√3)π/6].
方法应该是这样,但最后结果我觉得有点问题,请仔细检查一下,我也要再想一想,现在要下线了.
找到毛病了,改正在下面.
f(x)=∫[0,x]1/(1+x^3)dx
=(1/3)[ln(x+1)-(ln(x^2-x+1))/2+√3arctan((2x-1)/√3)]+(1/3)*(√3)π/6.
令x=1,
1-1/4+1/7-1/10+...=(1/3)[ln2+(√3)π/3].
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