Question

求函数：z^x=y^z的,dz/dx,dz/dy,

Answer 1

这类题目有两种方法,不过严格的说是一种方法,只是理解的方向不同.且说是两种方法吧.
1、分别将式子对x,y求偏导数,然后整理式子就可可以得到答案了.
z^x*ln(z)+x*z^(x-1)*z[x]=y^z*ln(y)*z[x]
z[x]=z^x*ln(z)/(y^z*ln(y)-x*z^(x-1))
x*z^(x-1)*z[y]=z*y^(z-1)+y^z*ln(y)*z[y]
z[y]=z*y^(z-1)/( x*z^(x-1)-y^z*ln(y))
2、使用全微分公式dz=z[x]dx+z[y]dy
对式子全微分有
z^x*ln(z)dx+x*z^(x-1)dz=z*y^(z-1)dy+y^z*ln(y)dz
(x*z^(x-1)-y^z*ln(y))dz=-z^x*ln(z)dx+z*y^(z-1)dy
对比公式有
z[x]=-z^x*ln(z)/(x*z^(x-1)-y^z*ln(y))
z[y]=z*y^(z-1)/(x*z^(x-1)-y^z*ln(y))
显然两种方法的答案是一样的.
对比上面两个方法可以得到结论,全微分相对好些,不涉及隐函数求偏导数,所以不太容易出错些.不过有的题只要求出其中一个,那么这种方法就感觉过了,不过如果你不太了解隐函数的求导,建议使用第二种方法.