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由丨x丨≤y，得y≥x或y≥-x。∴其区域为y=x、y=-x围成，位于x轴上方的区域。
令x=rcosθ，y=rsinθ。∴θ∈[π/4,3π/4]。再将x、y代入(x²+y²)³=y^4，得r≤sin²θ。
∴原式=∫(π/4,3π/4)dθ∫(0,sin²θ)(cosθ+sinθ)rdr=(1/2)∫(π/4,3π/4)(sin²θ)²(cosθ+sinθ)dθ。
再令θ=π/2-α。∴原式=(1/2)∫(-π/4,π/4)(cos²α)²(cosα+sinα)dα=(1/2)∫(-π/4,π/4)(cos²α)²d(sinα)=…=(43/120)√2。
由丨x丨≤y，得y≥x或y≥-x。∴其区域为y=x、y=-x围成，位于x轴上方的区域。
令x=rcosθ，y=rsinθ。∴θ∈[π/4,3π/4]。再将x、y代入(x²+y²)³=y^4，得r≤sin²θ。
∴原式=∫(π/4,3π/4)dθ∫(0,sin²θ)(cosθ+sinθ)rdr=(1/2)∫(π/4,3π/4)(sin²θ)²(cosθ+sinθ)dθ。
再令θ=π/2-α。∴原式=(1/2)∫(-π/4,π/4)(cos²α)²(cosα+sinα)dα=(1/2)∫(-π/4,π/4)(cos²α)²d(sinα)=…=(43/120)√2。
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