Question

我想请教形如下图中定积分的详细计算步骤，谢谢！

求这个以θ为自变量的定积分，的详细推导过程，谢谢！

Answer 1

默认x是小于n的整数。先写出（1-θ）的n-x次方的通项公式，再求θˣ（1-θ）的n-x次方在0到1的定积分，最后求和。详情如图所示:

后面求和运算，不懂再问。

Answer 2

分享一种解法。应用伽玛函数【Γ(α)=∫(0,∞)[x^(α-1)]e^(-x)dx，α>0时收敛】、贝塔函数【欧拉第一类积分B(a,b)=∫(0,1)[x^(a-1)](1-x)^(b-1)dx，a>0，b>0时，收敛】，以及伽玛函数与贝塔函数的关系求解。
原式=B(x+1,n-x+1)=Γ(x+1)Γ(n-x+1)/Γ(x+1+n-x+1)=[x(n-x)/(n+1)!]Γ(x)Γ(n-x)。

Answer 3

感觉这个积分应该无法积分出解析式