Question

已知x>0,y>0,z>0,3x²+y²+z²=15,求2x+3y+4z的极大值

Answer 1

x>0,y>0,z>0,3x²+y²+z²=15
所以设x=√5cosu,y=√15sinucosv,z=√15sinusinv,u,v∈(0,π/2),
于是w=2x+3y+4z
=2√5cosu+√15sinu(3cosv+4sinv),
3cosv+4sinv=5sin[v+arctan(3/4)]∈(3,5],
所以w≤2√5cosu+5√15sinu
=√395sin[u+arctan(2√3/15）],
所以w的最大值=√395.为所求。

Answer 2

解：（3x²+y²+z²）（4/3+9+16）≥（2x+3y+4z）²
15×79/3≥t²
t≤√395

Answer 3

取t=x/根号3， 则t^2 +y^2+z^2=15, 求2根号3 t+3y+4z
t^2 +y^2+z^2=15是一个t,y,z空间的球，2根号3 t+3y+4z=C是空间内的平面族
根据几何意义当2根号3 t+3y+4z=C和球相切时取最大值
此时(0,0,0)到平面距离为根号15
所以|C|/根号(12+9+16)=根号15
|C|=根号(15*37)
根据几何意义，显然C>0，所以C=根号(15*37)

Answer 4

2x+3y+4z
=(1/3)*(6x+9y+12z)
=(1/3)*(12*x/2+81*y/9+144*z/12)
=[(12+81+144)/3]*(12*x/2+81*y/9+144*z/12)/(12+81+144)
=79*(12*x/2+81*y/9+144*z/12)/237
<=79*√{[12*(x/2)^2+81*(y/9)^2+144*(z/12)^2]/237}
=79*√[(3x^2+y^2+z^2)/237]
=79*√(15/237)
=√395
当且仅当x/2=y/9=z/12，即x=2√(5/79)，y=9√(5/79)，z=12√(5/79)时等号成立