Question

根号五是有理数还是无理数？

Answer 1

根号5是无理数，常用的有2种方法来计算：

（1）级数法。利用根号下(1+x)的泰勒展开式。

（2）迭代算法。利用迭代公式：x0=a/2，x(n+1)=(xn+a/xn)/2。

证明过程

1、设根号下5不是无理数而是有理数，则设根号下5=p/q(p，q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)。

2、两边平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)。

3、p^2含有因数5，设p=5m，代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2，q^2含有因数5，即q有因数5。

4、这样p,q有公因数5，这与假设p,q最大公约数为1矛盾。

5、根号下5=p/q(p，q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)不成立，

所以，根号下5不是有理数而是无理数。