Question

为什么设a,b为常数，若x趋于无穷时，x+1分之ax²+bx的极限值等于2，则a+b等于0?

Answer 1

设 $L$ 为极限值，即：

�
=
lim
⁡
�

∞
�
+
1
�
�
2
+
�
�
L=
x∞
lim
​

ax
2
+bx
x+1
​

根据极限的性质，我们可以把分子和分母同时除以 $x^2$，得到：

�
=
lim
⁡
�

∞
1
�
+
1
�
2
�
+
�
�
L=
x∞
lim
​

a+
x
b
​

x
1
​
+
x
2

1
​

​

因为 $a$ 和 $b$ 是常数，所以当 $x$ 趋于无穷时，$a + \frac{b}{x}$ 也趋于无穷。因此，根据极限的四则运算法则，我们可以把分子和分母同时乘以 $\frac{1}{x}$，得到：

�
=
lim
⁡
�

∞
1
+
1
�
�
1
�
+
�
1
�
2
L=
x∞
lim
​

a
x
1
​
+b
x
2

1
​

1+
x
1
​

​

又因为 $a$ 和 $b$ 是常数，所以 $a\frac{1}{x}$ 和 $b\frac{1}{x^2}$ 都是趋近于 $0$ 的量。因此，当 $x$ 趋于无穷时，分母趋近于 $0$，分子趋近于 $1$，所以 $L$ 的极限值等于 $\frac{1}{0^+}$，即无穷大。

根据题目中给出的条件，我们知道 $L=2$，因此有：

lim
⁡
�

∞
�
+
1
�
�
2
+
�
�
=
2
x∞
lim
​

ax
2
+bx
x+1
​
=2

Answer 2

x趋于无穷大时
求多项式的极限值
如果极限值存在且不等于0
那么就看最高次方数的系数比
既然在这里x趋于无穷时
(ax²+bx)/(x+1)的极限值等于2
那么当然就可以得到
a=0，b=2
显然a+b并不是等于0的