设A,B分别为m*n,n*t矩阵,求证：若r(A)=n.则r(AB)=r(B) 若r(B)=n,则r(AB)=r(A)
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若R(B)=n,则显然有t>=n
说明B的行秩为n
B能通过初等列变换,变为 [E,0]形式
其中E是n阶单位方阵
就是说存在可逆的Q,合B=[E,O]Q
AB=A[E,O]Q = [A,0]Q
即R(AB)=R([A,O]Q)=R([A,O])=R(A)
若R(A)=n,
则R(AB)=R((AB)')=R(B'A')
只需要对B'A'作前文相似讨论,就可以得到
R(AB)=R(B)
证毕
说明B的行秩为n
B能通过初等列变换,变为 [E,0]形式
其中E是n阶单位方阵
就是说存在可逆的Q,合B=[E,O]Q
AB=A[E,O]Q = [A,0]Q
即R(AB)=R([A,O]Q)=R([A,O])=R(A)
若R(A)=n,
则R(AB)=R((AB)')=R(B'A')
只需要对B'A'作前文相似讨论,就可以得到
R(AB)=R(B)
证毕
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