Question

三重积分的定义？

Answer 1

Ω为(x/a)² + (y/b)² + (z/c)² ≤ R²的形式。

方法一：将椭圆域Ω转变为圆域Ω''

作代换：u = x/a、v = y/b、w = z/c

圆域Ω''：u² + v² + w² ≤ R²

则雅可比行列式∂(u，v，w)/∂(x，y，z) = abc

即dxdydz = abc dudvdw

所以∫∫∫Ω f(x，y，z) dxdydz = ∫∫∫Ω'' f(au，bv，cw) * abc dudvdw

再用极坐标即可。

r的范围跟圆域Ω''相符，0 ≤ r ≤ R

方法二：用广义极坐标

{ x = ar sinφcosθ

{ y = br sinφsinθ

{ z = cr cosφ

dxdydz = abc r²sinφ drdφdθ

∫∫∫Ω f(x，y，z) dxdydz = ∫∫∫Ω f(ar sinφcosθ，br sinφsinθ，cr cosφ) * abc r²sinφ drdφdθ

r的范围是0 ≤ r ≤ R

当然、用第一个方法会快很多的，但仅对于特殊积分域时才好用。

含义

设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。