Question

高中数学不等式

3mn+m+n=1 其中n，m为整数求m+n取值范围

Answer 1

由已知3mn+m+n=1

∴n=(1-m)/3m+1

令f(x)=(1-x)/3x+1  （x≠-1/3）

取x1＜x2，那么有f(x2)-f(x1)=(1-x2)/(3x2+1)-(1-x1)/(3x1+1) 

整理得f(x2)-f(x1)=4(x1-x2)/(3x1+1)(3x2+1)

∴当x＞-1/3时，有f(x2)-f(x1)＜0

  当x＜-1/3时，亦有f(x2)-f(x1)＜0

∴f(x)在x＞-1/3和x＜-1/3两个定义区间均为减函数①

∵lim[f(x)]=-1/3，当x趋向于正无穷

  lim[f(x)]=-1/3，当x趋向于负无穷

作出如附件所示f(x)图像(双曲线)，由f(x)定义知图像中x对应m , y对应n

由已知m，n为整数，所以(m，n)只能对应取图中(0,1)、(1,0)和(-1,-1)三个点

所以m+n取值集合{1,-2}

备注：1）如已知n,m为整数，则应按上面答案；

      2）如已经n,m为正数，则按quaf的方法即可，我的方法仅供参考；

Answer 2

解：

m，n是正数吧？

可以利用均值不等式m+n≥2√(mn)，即(m+n)²/2≥mn

∵3mn+m+n=1

∴mn=[1-(m+n)]/3≤（m+n)²/2

令t=m+n，显然t＞0，则

[1-t]/3≤t²/2

2-2t≤3t²

3t²+2t-2≥0

∴t≥[-2+√(4+24)]/6=(-1+√7)/3

另外一方面，3mn和m+n都是正数，和是1

所以m+n＜1

即m+n的范围是[(-1+√7)/3，1）

谢谢

Answer 3

先设m=x+n（x也为整数），代入原式得
3m2（此2为平方的意思，打不来）+（2+3x）m+x-1=0，m有值，用求根公式可得m的值在此先设为a
x有取值范围，代入m+n
n用x+m代入即2m+x
a是关于x的一个函数，x的取值范围已知
即可求解出答案