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齐次方程组有解吗?
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方程组 A x = 0 Ax=0Ax=0 和 B x = 0 Bx=0Bx=0 同解的充要条件为两矩阵的行向量组等价,即可以互相表示。齐次线性方程组的全部解构成的集合中包括零解、且对线性运算是封闭的。该几何的最大无关组称为该方程组的基础解系,可用该基础解系表达该方程组的全部解,即通解。
基础解系的特点:一般存在且不唯一;可通过初等行变换求解基础解系;基础解系的意义在于可使用有限个解表达无穷解。
齐次线性方程组解的性质
1、齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A)<n。即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。推论:齐次线性方程组仅有零解的充要条件是r(A)=n。
2、若x是齐次线性方程组的一个解,则kx也是它的解,其中k是任意常数。
3、若x1,x2是齐次线性方程组的两个解,则x1+x2也是它的解。
4、对齐次线性方程组,若r(A)=r<n,则存在基础解系,且基础解系所含向量的个数为n-r,即其解空间的维数为n-r。
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2024-11-21 广告
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