Question

如何讲清楚多元函数全微分与偏导数的关系？

Answer 1

　　dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy，dz是全微分，fx、fy是对x、y的偏导数。\x0d\x0a　　如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量\x0d\x0a　　Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)\x0d\x0a　　可以表示为\x0d\x0a　　Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，\x0d\x0a　　其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即\x0d\x0a　　dz=AΔx +BΔy\x0d\x0a　　该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。\x0d\x0a　　在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。\x0d\x0a　　在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的“变化率”。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。\x0d\x0a　　在xOy平面内，当动点由P(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。\x0d\x0a　　在这里我们只学习函数f(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时，f(x,y)的变化率。\x0d\x0a　　偏导数的算子符号为:∂。\x0d\x0a　　偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。\x0d\x0a　　表示固定面上一点的切线斜率。\x0d\x0a　　偏导数f'x(x0,y0)表示固定面上一点对x轴的切线斜率；偏导数f'y(x0,y0)表示固定面上一点对y轴的切线斜率。\x0d\x0a　　高阶偏导数：如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。\x0d\x0a　　二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy.\x0d\x0a　　注意：f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对x求偏导.当f"xy与f"yx都连续时，求导的结果与先后次序无关。