Question

已知三角形的一个角和对边，求三角形面积的最大值的问题

设A为锐角三角形ABC的一个内角，BC＝2，cos2A=-7/25，求三角形ABC面积S的最大值。
这个怎么做？我尝试了用正弦定理得到S关于角B的关系式，可以得到结果，但是那样做过于繁琐，各位有没有什么简便的方法？
我就是那么做的，我是问没有比这更简便的方法吗？

Answer 1

这里给你提供一个几何方法供你参考。
定理：如果三角形ABC的BC边长不变，∠A等于已知角（即大小不变），则A点的轨迹为以BC为弦，所含圆周角等于已知角的圆弧。（实际上是关于BC对称的两条圆弧，对于本问题，由于对称性，可以只关心其中一条圆弧）。
因为题设△ABC是锐角三角形，由cos2A=-7/25可证明∠A大小是确定的，因此A点在以BC为弦的一条圆弧上。显然，当A沿圆弧移动到BC的垂直平线上时，BC上的高取得最大值，从而三角形ABC的面积也取得最大值。容易根据半角公式及解三角形求得此时BC上的高等于2，所以△ABC的最大值为(1/2)·2·2=2.

Answer 2

用正弦定理得到S关于角B的关系式： s=1/2*a*a*sinAsinBsinC
将C=180-B-A带入，得到关于A,B的函数，由于A是固定的。其实是关于B的函数。求s的极大值问题 。