已知x，y∈R，满足x 2 +2xy+4y 2 =6，则z=x 2 +4y 2 的最小值为___．
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由题意x 2 +2xy+4y 2 =（x+2y） 2 -2xy=6，那么（x+2y） 2 =2xy+6，
∵（x+2y） 2 ≥4x•2y=8xy，当且仅当x=2y时取等号．
则：2xy+6≥8xy
解得：xy≤1
z=x 2 +4y 2 =（x+2y） 2 -4xy≥8xy-4yx=4．
所以z=x 2 +4y 2 的最小值为4．
故答案为：4．
∵（x+2y） 2 ≥4x•2y=8xy，当且仅当x=2y时取等号．
则：2xy+6≥8xy
解得：xy≤1
z=x 2 +4y 2 =（x+2y） 2 -4xy≥8xy-4yx=4．
所以z=x 2 +4y 2 的最小值为4．
故答案为：4．
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