Question

设a为实数，当a在什么范围内取值时，函数f(x)=x^3-x^2-x+a与轴仅有三个交点?

设a为实数，当a在什么范围内取值时，函数f(x)=x^3-x^2-x+a与轴仅有三个交点?

Answer 1

f(x)=x^3-x^2-x+a=0，所以x^3-x^2-x=-a
令g(x)=x^3-x^2-x
h(x)=-a
交点即两函数交点情况
下面研究g(x)
g'(x)=3x^2-2x-1
又导数正负情况得出
x (-∞,-1/3) -1/3 (-1/3,1) 1 (1,+∞)
g(x)(-∞,5/27) 5/27 (5/27,-1) -1 (-1,+∞)
增 极大 减 极小 增

故画出增减草图，再画出h(x)=-a（直线）
发现三个交点，-a必须介于二极值点之间
-1<-a<5/27
-5/27<a<1

Answer 2

f(x) = x^3-x^2-x +a
f'(x) =3x^2-2x-1
= (3x+1)(x-1)=0
x = -1/3 or 1

f''(x) = 6x-2
f''(1) = 4 >0 (min)
f''(-1/3) = -5/2 < 0 ( max )

f(1) = -1+a <0
a < 1
and
f(-1/3) = 1/27 - 1/9 -1/3 +a >0
-11/27+a >0
a > 11/27

ie 11/27<a<1 #