Question

如何求曲面的法向量？

Answer 1

法向量的求法如下：

1、建立恰当的直角坐标系；

2、设平面法向量n=（x，y，z）；

3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）；

4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0；

5、解方程组，取其中一组解即可。

关于法向量微分几何的计算方式，这涉及到曲面的表示方式。通常曲面的表示方式为：

（1）隐函数：F(x,y,z)=0， 如平面x+y+z=0;

（2）（参数化的）向量形式：r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k. 因为曲面的维度为2，所以一般是两个参数u,v。比如：x+y+z=0 可表示为：r(u,v)=ui+vj+(-u-v)k.

对应的，计算法向量的方式分别为：

（1）grad(F). 即隐函数F(x,y,z)的梯度grad(F) 即为曲面在点(x,y,z)处的法向量，也即，法向量为F(x,y,z)=C变化率最大的方向。