Question

一道高一数学题（对数）,半小时内求详解,

Answer 1

先看变形：
(lgx+lgy)/lgx + (lgx+lgy)/lgy + lg(x-y)²/(lgxlgy)
=通分[(lgx)²+(lgy)²+2(lgxlgy)+lg(x-y)²]/(lgxlgy)
=合并三项[(lgx+lgy)²+lg(x-y)²]/(lgxlgy)
=[(lgxy)²+lg(x-y)²]/(lgxlgy)=0
这时要考虑对数函数的定义域为(0,+∞),即：
x>0,y>0
变形后的等式,左边应为0,而分母不能为0,故只有分子为0.而分子的两项都是平方式：(lgxy)²和lg(x-y)²,平方式都大于等于0.故必然有：
(lgxy)²=0
且
lg(x-y)²=0
那么根据对数函数性质：
xy=1
(x-y)²=1
即求方程组
xy=1
x-y=1
或者方程组
xy=1
x-y=-1
的解即可.
这个过程我就不写了.解的时候注意x、y都取大于0的值.解出的结果是x和y分别是(1+√5)/2和(-1+√5)/2（在两种情况的方程组下x、y的解值正好交换）.如果没记错的话小的那个是黄金分割数.
log2(xy),如果我没猜错的话2是底数吧.根据对数函数计算规则：
log2(xy)
=lg(xy)/lg2
=lg1/lg2
=0/lg2
=0
ps：很久没答题了.