Question

为何∫e^(- x^2) dx积分=√π/2。

Answer 1

∫e^(-x^2) dx积分=√π/2。

记I=∫e^(-x^2) dx，那么同理 I=∫e^(-y^2) dy，两者相乘得到I^2=∫e^(-x^2) ∫e^(-y^2) dxdy。

这在极坐标下相当于对一个半径为+∞的，在第一象限的扇形进行积分，也就是∫（0，π/2）dθ∫（0，+∞）e^(-r^2) rdr。容易解得这个积分的结果为π/4，那么相应的就有I^2=π/4，I=√π/2。

性质：

积分是线性的。如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。