Question

设与直线x-y-1=0相切的圆,经过点(2,-1),且圆心在直线2x+y=0上,求这个圆的方程.

Answer 1

圆心在直线2x+y=0;
y=-2x
设圆心O(a,-2a)
圆方程:(x-a)^2+(y+2a)^2=r^2
过(2,-1)
(2-a)^2+(2a-1)^2=r^2
4-4a+a^2+4a^2-4a+1=r^2
5a^2-8a-r^2+5=0.1
与直线x-y-1=0相切的圆:
就是到直线的距离为半径r.点(a,b) 到Ax+By+C=0 的距离公式为:
|Aa+Bb+C|/根号(A^2+B^2)
于是:|a+2a-1|/根号(1^2+(-1)^2)=r
r^2=(3a-1)^2/2
r^2=[9a^2-6a+1]/2代入1式得:
5a^2-8a-(9a^2-6a+1)/2+5=0
10a^2-16a-9a^2+6a-1+10=0
a^2-10a+9=0
a=9 or a=1
r^2=(3*9-1)^2/2=169*2=338 or r^2=(3*1-1)^2/2=1
圆心(1,-2) 半径1
or 圆心(9,-18) 半径根号(338)
方程为:
(x-1)^2+(y+2)^2=1
or (x-9)^2+(y+18)^2=338